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Análisis Matemático II > Curva y Longitud de un Arco de Curva

Curva

Antes de introducirnos al concepto de curva, vamos a definir a las funciones vectoriales.

            Una función vectorial es aquella definida en un conjunto A, el cual está incluido en el campo de los reales, y con recorrido en ¡n con n ³ 2. Es decir:

           

Una vez dicho esto, podemos ahora definir el concepto de curva.

            Se define como curva al recorrido de una función vectorial continua definida en un intervalo cerrado [a, b]. Es decir:

            Si el recorrido es en ¡2 se obtiene una curva plana. En ¡3 se obtiene una curva alabeada.

            Si el comienzo de la curva coincide con el final de ella, es decir la curva es cerrada, y si no coinciden, es decir se trata de un arco de curva.

Si la función vectorial es inyectiva en (a, b), la curva se denomina curva simple, y si la curva es cerrada y simple se denomina curva de Jordan.

Dada una función vectorial, es posible hallar una única curva asociada a la función, en cambio dada una curva, es posible encontrar más de una función que se corresponda con ella.

Longitud de un arco de curva

Consideremos una función vectorial f definida en un intervalo cerrado [a, b], con recorrido en ¡3, y C la curva asociada.

Pedimos que f sea derivable.

            Consideremos ahora los puntos f (t0), f (t1), f (t2), ¼ , f (tn) sobre la curva C, según se muestra en la figura, con t0 = a < t1 < t2 < ¼ < tn = b. Si unimos los puntos considerados se obtiene una poligonal.

            Entonces vamos a calcular la longitud de la poligonal como

            Por el teorema del valor medio, podemos inferir que existen puntos intermedios ai, bi, y gi para los cuales se cumple que

Entonces, si reemplazamos estas ecuaciones en la expresión de la longitud de la poligonal, obtenemos

            distribuyendo los cuadrados se tiene

            Por último, sacando factor común (ti – ti – 1)2 y distribuyendo la raíz, obtenemos la expresión de la longitud de la poligonal

            Ahora bien, si tomamos una cantidad infinitamente grande intervalos, la longitud de la poligonal se transforma en la longitud de la curva, la diferencia (titi–1) se convierte en un dt (diferencial de t), y la sumatoria se transforma en una integral. Dicho de otra manera, en el límite cuando (titi–1) tiende a cero, la longitud de la poligonal se iguala a la longitud del arco de curva.

            Es decir que la longitud del arco de curva se calcula con la integral entre a y b del módulo de la función derivada de t.