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Análisis Matemático II > Cambio de Variables

 

Dada una integral doble de una función F(x, y) definida en un dominio Dxy, es posible realizar un cambio de variables para otro dominio Duv de la siguiente manera:

            Sustituimos x por una función H(u, v), e y por otra función G(u, v). Entonces la integral doble resultará

                J se denomina Jacobiano, y resulta de resolver un determinante formado por las derivadas parciales de las funciones H y G.

          Coordenadas Poalres

            En ciertas ocasiones, la descripción de los dominios de integración en coordenadas rectangulares resulta más bien complicada, y se simplifica si los definimos en coordenadas polares.

            Supongamos un punto genérico (x, y) dentro de un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Si trazamos un segmento r desde el origen de coordenadas hasta el punto (x, y), podemos determinar un vector que forma un ángulo t con el eje de las x.

Entonces tenemos a x e y como coordenadas rectangulares, y a r y t como coordenadas polares, las cuales las podemos relacionar de la siguiente manera:

x = r cos t               y = r sen t.

Entonces vamos a formar el Jacobiano con las derivadas parciales de las funciones x(r, t) e y(r, t)

Como r es un radio, es siempre positivo, así que no hace falta tomarlo como valor absoluto.

            Por lo tanto, la evaluación de una integral doble en coordenadas polares resultará

Coordenadas cilíndricas

Vimos que en la geometría plana presentamos el sistema de coordenadas polares con el objeto de dar una descripción más conveniente a ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas de coordenadas que son semejantes a las coordenadas polares y proporcionan descripciones más apropiadas de algunas superficies y sólidos que suelen presentarse.

            Uno es el sistema de coordenadas esféricas (que lo veremos más adelante), y el otro es el sistema de coordenadas cilíndricas, en donde un punto P del espacio tridimensional se representa mediante una tríada ordenada (r, t, z) donde r y t son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x y a P como se muestra en la figura.

            Entonces podemos afirmar que x = r cos t, y = r sen t, y z = z.

            Supongamos ahora una integral triple de una función F(x, y, z) definida en un dominio Dx y z, podemos sustituir las variables x, y, z por funciones H (u, v, w), M (u, v, w), y N (u, v, w) respectivamante, entonces la integral triple nos queda igual a

            siendo J el Jacobiano que resulta

            Si calculamos el Jacobiano con las ecuaciones anteriores obtenemos

            Entonces el cambio de variables en coordenadas cilíndricas será

            Coordenadas esféricas

            Las coordenadas esféricas (r, j, t) se muestran en la figura, donde r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto P, j es el ángulo entre el eje positivo z y el segmento de recta OP, y t es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas.

            La relación entre las coordenadas esféricas y las rectangulares pueden observarse en la misma figura. De los triángulos OPZ y OPP’ obtenemos

            De acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el Jacobiano para realizar el cambio de variables.

            Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a esféricas en integrales triples resultará