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Análisis Matemático II > Derivada Direccional

 

Si damos un vector v de componentes h y k que forma un ángulo a con el eje de las x, se define a la derivada direccional en la dirección de a en el punto (a, b) con el siguiente límite:

Fórmula para calcular derivadas direccionales

El cálculo de límites para resolver derivadas direccionales es a veces engorroso, razón por la cual vamos a encontrar una fórmula más sencilla que nos permita resolver derivadas direccionales más rápidamente.

Dijimos anteriormente que la derivada direccional se calcula con el límite:

Sabemos además por el teorema del valor medio que

Entonces, si reemplazamos el primer miembro de esta ecuación por su igual, en la fórmula de la derivada direccional obtenemos

Luego, si las derivadas parciales son continuas, entonces en el límite, h y k toman directamente el valor cero, obteniéndose

Es decir que la derivada direccional en la dirección de a en el punto (a, b) se la puede calcular con la siguiente fórmula

Casos particulares

Existen casos particulares de las derivadas direccionales para ciertas direcciones del ángulo a, a saber:

       

Es decir que cuando el vector es paralelo al eje de las x, la derivada direccional coincide con la dirección de la derivada parcial respecto de x.

       

Es decir que cuando vector es perpendicular al eje de las x, la derivada direccional coincide con la dirección de la derivada parcial respecto de y.