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Análisis Matemático II > Extremos

       

        Unos de los principales usos de las derivadas ordinarias es el cálculo de los máximos y mínimos. En esta sección veremos cómo utilizar las derivadas parciales para localizar los extremos de una función de dos variables.

Máximo relativo

F(a, b) es máximo relativo de F si existe un entorno del punto (a, b) tal que para todo par (x, y) que pertenezca al entorno se verifique que F(x, y) sea menor o igual que F(a, b), es decir

Mínimo relativo

F(a, b) es mínimo relativo de F si existe un entorno del punto tal que para todo par de valores x e y que pertenezcan al entorno se verifique que F(x, y) sea mayor o igual que F(a, b), es decir

Punto de ensilladura

Un punto (a, b, F(a, b)) es punto de ensilladura de la superficie z = F(x, y) si para todo entorno del punto (a, b) existe un punto (x1, y1) que pertenezca al entorno, tal que F(x1, y1) sea menor que F(a, b), y existe otro punto (x2, y2) que también pertenezca al entorno, tal que se cumpla que F(x2, y2) sea mayor que F(a, b).

Dicho de otra manera, (a, b, F(a, b)) es punto de ensilladura de la superficie asociada a z = F(x, y) sólo si se cumple que:

        La figura siguiente muestra una gráfica de esta definición

        Condición necesaria para la existencia de puntos extremos

       

Condición suficiente para extremos y puntos de ensilladura

            Sea z = F(x, y) una función con derivadas parciales segundas continuas, y (a, b) un punto interior del dominio de la función; en (a, b), sea F x(a, b) = F y(a, b) = 0    y   H (x, y) = F’’xx(x, y) · F’’yy(x, y) – [F’’xy(x, y)]2 , y suongamos que no todas las derivadas parciales segundas se anulan en el punto (a, b), por ejemplo que F’’xx(x, y) ¹ 0, entonces:

               H es el Hessiano para z = F(x, y) y se lo determina resolviendo el siguiente determinante:

            Pero como las derivadas mixtas son iguales cuando las derivadas parciales son continuas nos queda