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Análisis Matemático II > Integrales Iteradas o Sucesivas

           

            Suele resultar difícil evaluar integrales sencillas a partir de su definición, por esta razón veremos una forma de expresar una integral doble como una integral iterada, la cual puede ser evaluada calculando dos integrales simples.

            Supongamos que F es una función integrable sobre el rectángulo R = [a, b]´[c, d]. Vamos a calcular la integral de la función F con respecto a y desde y = c hasta y = d, es decir que vamos a  mantener a x constante en un valor x0. Este proceso se llama integración parcial con respecto a y, y se lo simboliza con

            Ahora la integral parcial con respecto a y es un número que depende del valor de x, de modo que define una función de x:

            Si ahora integramos la función g desde a hasta b, obtenemos

Significa que primero integramos con respecto a y desde c hasta d, y después con respecto a x desde a hasta b.

            De manera semejante podemos integrar con respecto a x, manteniendo a y fija en un valor y0, de x = a a x = b, y después integramos la función resultante con respecto a y, de y = c a y = d.

Dominios simples

No siempre los dominios de integración son rectangulares en los cuales es posible evaluar integrales iteradas en ambos sentidos, es decir, primero integrar respecto de x, y luego respecto de y, o integrar primero respecto de y, y luego respecto de x.

Se puede integrar sobre otro tipo de dominios, pero la integración en uno u otro sentido, o en ambos, dependerá del tipo de dominio de integración, los cuales los podemos clasificar como:

Ø     dominios simples tipo 1

Ø      dominios simples tipo 2

Ø      dominios doblemente simples.

Tipo 1:

                        Tipo 2:

                        Doblemente simples:

Propiedad

            Dado un dominio simple D, que se puede subdividir en dos o más recintos como en la figura, la integral doble en D será igual a la suma de las integrales de cada uno de los recintos.