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Análisis Matemático II > Integral Doble

 

Sea la función z = F(x, y) un campo escalar definido y acotado en un rectángulo R = [a, b]´[c, d] vamos a tomar una partición P de R en subrectángulos. Esto se complementa por la partición de los intervalos [a, b] y [c, d] de la siguiente manera:

P1 = [a = x0, x1,  x2, ¼ , xn = b], con x0 < x1 < x2 < ¼ < xn;    y    P2 = [c = y0, y1, y2, ¼ , yn = d], con y0 < y1 < y2 < ¼ < yn.

Entonces P = P1 ´ P2.

Sea mi j = ínfimo de F(x, y) en Ri j y Mi j = supremo de F(x, y) en Ri j, entonces el volumen del prisma será

según si se tome por defecto o por exceso en relación al volumen del cuerpo con la misma base Ri j hasta la superficie z = F(x, y)

Si realizamos la sumatoria de todos los volúmenes tomados por defecto, obtendremos las sumas inferiores para la subdivisión P, y si realizamos la sumatoria de todos los volúmenes tomados por exceso, obtendremos las sumas superiores para la subdivisión P.

Propiedades para las sumas inferiores y superiores

Sea A el conjunto de todas las sumas inferiores para cualquier subdivisión posible, A está acotado superiormente, ya que cualquier suma superior es cota superior de A, entonces existe el supremo de A que recibe el nombre de integral inferior de la función F(x, y).

Sea B el conjunto de todas las sumas superiores para cualquier subdivisión posible, B está acotado inferiormente, ya que cualquier suma inferior es cota inferior de B, entonces existe el ínfimo de B que recibe el nombre de integral superior de la función F(x, y).

Integral según Riemman: Si el supremo de A es igual al ínfimo de B, se dice que F(x, y) es integrable según Riemman sobre el rectángulo R, y la integral doble es igual a la integral inferior y a la integral superior, igual a un número común.