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Análisis Matemático II > Plano Tangente y Recta normal

 

Se define como plano tangente a una superficie en un punto, al lugar geométrico de las rectas tangentes a todas las curvas que pasan por el punto y están en la superficie.

A partir de esta definición podemos considerar las rectas tangentes a un punto (a, b, F(a, b)), obtenidas de las derivadas parciales de la función z = F(x, y) en el punto, según se muestra en la figura que sigue.  

El vector v1 es el versor (vector unitario) en la dirección de la derivada parcial de F respecto de x, por esa razón posee componentes 1 en x, 0 en y, y Fx(a, b) en z.

El vector v2 es el versor en la dirección de la derivada parcial de F respecto de y, por lo que posee componentes 0 en x, 1 en y, y Fy(a, b) en z.

          El vector v es un vector genérico que debe pertenecer al plano tangente. Por esa razón es condición necesaria que el producto mixto entre los vectores resulte nulo, es decir

          Si resolvemos el producto mixto mediante un determinante que lo formamos con las componentes de los vectores obtenemos

Ahora bien, a esta ecuación la podemos escribir como el producto escalar de dos vectores

Sabemos que el segundo vector pertenece al planto tangente, pues es el vector genérico v que consideramos anteriormente, y que debía pertenecer al plano tangente.

Si este vector pertenece al plano tangente, el primer vector debe ser perpendicular al mismo para que se cumpla que el producto escalar sea nulo.

Entonces vamos a tomar un vector genérico, colineal con este último, como se muestra a continuación

Como sabemos, dos vectores colineales tienen sus componentes proporcionales, es decir que

Si igualamos ahora la ecuación a un parámetro t, y despejamos x, y, y z vamos a obtener la ecuación paramétrica de la recta.