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Análisis Matemático II > Teorema de Green

            Sea D un recinto plano doblemente simple y C su frontera. Sean P y Q dos campos escalares definidos en un dominio abierto que incluye a D y a su frontera, y con derivadas parciales continuas en dicho dominio, entonces se verifica que

Como vemos este teorema establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada y una integral doble sobre una región plana.

Demostración

            Observe que el teorema de Green quedará demostrado si podemos probar que

            Vamos a probar la ecuación 1 considerando a D como una región del tipo 1:

            en donde f1 y f2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral doble del segundo miembro de la ecuación 1, de la siguiente manera:

Ahora vamos a calcular el primer miembro de la ecuación 1 considerando a C como la unión de dos curvas C1 y C2. Sobre estas curvas tomamos a x como el parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas como

            Por consiguiente

            Si observamos los segundos miembros de las ecuaciones 3 y 4, vemos que son iguales, por lo tanto, si los segundos miembros son iguales los primeros también, entonces

            La ecuación 2 la podemos demostrar en gran medida de la misma forma, al expresar a D como una región del tipo 2:

            en donde g1 y g2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral doble del segundo miembro de la ecuación 2 de la siguiente manera:

Ahora vamos a calcular el primer miembro de la ecuación 2 considerando a C como la unión de dos curvas C3 y C4. Sobre estas curvas tomamos a y como el parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas como

            Por consiguiente

            Nuevamente si observamos los segundos miembros de las ecuaciones 5 y 6, vemos que son iguales, por lo tanto los primeros miembros también deben serlo, entonces

            Por último, si sumamos las ecuaciones 1 y 2, obtenemos el teorema de Green.